[有限元知識] 幾種能量及能量平衡方程

2017-04-20 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

(1)虛功

在力學(xué)領(lǐng)域中,功是力和位移。虛功對應(yīng)的有兩種:虛位移和虛力。虛功和實際做的功之間差異在于當力和位移呈線性關(guān)系時,虛功為力*位移,而實際做的功為1/2*力*位移。

虛位移:可以是任何無限小的位移,它在結(jié)構(gòu)內(nèi)部必須是連續(xù)的,在結(jié)構(gòu)邊界上必須滿足運動學(xué)邊界,例如對于懸臂梁來說,在固定端處,虛位移及其斜率必須等于零。

虛力:所假設(shè)的應(yīng)力場,在結(jié)構(gòu)內(nèi)部滿足力平衡方程,在相鄰單元的公共邊界上虛應(yīng)力是平衡的,但位移是不連續(xù)的。

(2)應(yīng)變能

在外力作用下,物體內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力{σ}和應(yīng)變{ε}。假定外力從0開始逐漸增加的,應(yīng)力和應(yīng)變也將從0開始逐漸增加的。在這個過程中,單位體積內(nèi)應(yīng)力所做的功稱為應(yīng)變能密度,為∫{σ}Td{ε}。在物體的整個體積內(nèi)積分,得到物體的應(yīng)變能。

(3)余應(yīng)變能

同應(yīng)變能相似的有余應(yīng)變能密度,為∫{ε}Td{σ}。在物體的整個體積內(nèi)積分,得到物體的余應(yīng)變能。

對比應(yīng)變能和余應(yīng)變能可以發(fā)現(xiàn),應(yīng)變能是以應(yīng)變作為主參數(shù),在下一步的平衡方程其確定的是剛度;余應(yīng)變能是以應(yīng)力作為主參數(shù),在下一步的平衡方程確定的是柔度。

(4)虛位移原理(勢能原理、虛功原理)

設(shè)結(jié)構(gòu)在荷載作用下處于平衡狀態(tài)。假定由于任何其他原因,使結(jié)構(gòu)從其平衡位置偏離一個任意微小的、為邊界約束條件所允許的虛位移(可以看作是真實位移的一個變分),荷載在虛位移上所作的虛功,將等于其內(nèi)部應(yīng)力在相應(yīng)應(yīng)變上所積累的虛變形勢能。故虛位移原理可表述為:彈性結(jié)構(gòu)平衡的必要與充分條件是,對于任意微小的虛位移,荷載所作的總虛功δW等于其內(nèi)部所積累的虛變形勢能δU。即δU-δW=0。

(4)最小勢能原理

設(shè)結(jié)構(gòu)在P力系作用下處于平衡。在某一可能虛位移過程中,與Pi力相應(yīng)的虛位移設(shè)為Δi,則由可能虛位移引起的荷載勢能變化為,將使結(jié)構(gòu)增加變形。

設(shè)由此引起的變形勢能的改變?yōu)棣腢,則結(jié)構(gòu)的總勢能改變δП可定義為內(nèi)外兩種勢能變化之差,即。

但是,在這個虛位移中,荷載始終保持不變,因而П只是可能虛位移的函數(shù)。故此式可改寫成。

泛函 П=U-W代表結(jié)構(gòu)在虛位移中的總勢能。當結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時,已知U=W,從而有δП=0,它說明:在一切滿足邊界條件的虛位移中,同時滿足平衡條件的虛位移對應(yīng)于結(jié)構(gòu)勢能的一個駐值,這就是結(jié)構(gòu)勢能駐值原理。對于線彈性結(jié)構(gòu),勢能的二階變分恒為正,因而使總勢能取最小值,所以這個原理又稱最小勢能原理。它意味著在所有滿足邊界條件的虛位移中,能使結(jié)構(gòu)勢能為最小的虛位移,滿足平衡條件,因而就是真實的位移。在這種情況下,結(jié)構(gòu)勢能的駐值條件等價于平衡條件。

(5)虛力原理(余能原理)

設(shè)結(jié)構(gòu)在荷載和支承位移影響下處于平衡狀態(tài)。在位移保持不變的情況下,若讓真實應(yīng)力σ發(fā)生微小改變δσ,且使它們滿足平衡條件和應(yīng)力邊界條件(稱為可能虛應(yīng)力),則虛力原理可表述為:對一切可能虛應(yīng)力δσ而言,結(jié)構(gòu)滿足變形協(xié)調(diào)方程的必要和充分條件是,對于任意微小的可能虛應(yīng)力,其變形余能的一階變分δU*,等于位移邊界上的相應(yīng)邊界反力所作荷載余功的一階變分δW*,即。

(6)最小余能原理

結(jié)構(gòu)的余能變分可定義為

式中Ri、Ci分別為支承反力和相應(yīng)的支承位移。在可能應(yīng)力的變化過程中,應(yīng)變和位移均保持不變,因而此式可改寫為

泛函代表結(jié)構(gòu)的總余能,由余能原理,有δП*=0 。它說明:在所有滿足平衡條件及邊界條件的應(yīng)力場中,同時滿足相容應(yīng)變場的應(yīng)力場,對應(yīng)于余能的一個駐值,這就是余能駐值原理。對于線彈性結(jié)構(gòu),因有,已知勢能U的二階變分恒為正,故П*將取最小值,因而最小余能原理可表述為:在一切滿足平衡方程及邊界條件的應(yīng)力場中,真實的應(yīng)力場應(yīng)能使泛函П*成為最小。因而,余能的駐值條件等價于變形協(xié)調(diào)條件。

(7)小結(jié)

最小勢能原理和最小余能原理的基本區(qū)別在于:最小勢能原理對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的平衡條件,是以位移作為變量,而最小余能原理對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件,是以力為變量。

注:

1. 為什么按最小勢能原理求的的位移近似解會小于位移精確解呢?

解答:按最小勢能原理求解時,必須先假定單元位移函數(shù)。這些位移函數(shù)是連續(xù)的,但確實近似的,從物體中取出的一個單元,作為連續(xù)介質(zhì)的一部分,本來具有無限個自由度,在采用位移函數(shù)后,只有以節(jié)點位移表示的有限個自由度,位移函數(shù)對單元的變形能力有所限制,使單元的剛度增加了,物體的整體剛度也隨之增加,因此計算的位移近似解將小于精確解,具有下限性質(zhì)。

2. 為什么按最小余能原理求的的位移近似解會大于或等于位移精確解呢?

解答:按最小余能原理求解時,在相鄰單元的公共邊界上,應(yīng)力是平衡的,但位移是不連續(xù)的,計算模型的變形能力增加了,比真實物體更柔,按最小余能原理計算的位移近似解將大于等于精確解,具有上限性質(zhì)。

參考資料:

1.朱伯芳,有限單元法原理與應(yīng)用(第三版),中國水利水電出版社&知識產(chǎn)權(quán)出版社,2009

2. 能量原理 http://www.hudong.com/wiki/能量原理

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