搜索【技術(shù)】為什么自行車不會倒？這個數(shù)學(xué)問題在自行車誕生的兩百年后才告解決
2017-03-09 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
他幼年家庭破碎,自行車成為他唯一的樂趣。他以優(yōu)秀的成績從MIT畢業(yè),但也曾失意退出學(xué)術(shù)圈,甚至為廁紙制造機公司工作,但30年后,他關(guān)于自行車運動背后的數(shù)學(xué)規(guī)律的工作終于大白于天下,如今他的工作有了新的動力。
圖片來源:Adam Glanzman/Nature
在康奈爾大學(xué)助理教授吉姆·帕帕佐普洛斯(Jim Papadopoulos)位于波士頓家里的地下室里,斜靠著七輛自行車,有的掉漆了,有的輪胎沒氣了。作為他結(jié)婚禮物的自行車車架早已被厚厚的塵埃覆蓋。他說:“我在搬家時丟棄了大部分實驗用的自行車?！边@就意味著,留下的自行車對他來說都有著特殊的意義。他說:“這些是我平時騎的。”
62歲的帕帕佐普洛斯對自行車著迷了大半生,甚至達到了忘我的地步。在青年和大學(xué)時代,他曾參加過業(yè)余自行車賽,但他還對自行車背后更深層次的知識著迷。在騎車時他總是要思考背后的數(shù)學(xué)問題,其中最主要的是:自行車為什么不會倒?到底是什么看不見的力量讓騎車人在踩踏板的時候還保持平衡?為什么要先把把手向右轉(zhuǎn)才能使車傾向左邊并向左轉(zhuǎn)?以及,怎樣使自行車在無人駕駛時還保持平穩(wěn)行駛?
他年輕時在康奈爾大學(xué)當(dāng)工程師,期間就努力鉆研了這些問題。然而,他大部分的設(shè)想都沒有發(fā)表,導(dǎo)致他最終退出了學(xué)術(shù)界。上世紀(jì)90年代末,他淪落到去一家生產(chǎn)廁紙制造機器的廠家工作?！叭绻詈鬀]人發(fā)現(xiàn)你的作品,繼續(xù)工作也毫無意義。”他說。
但是終于有人發(fā)現(xiàn)了他的工作。2003年,他當(dāng)年在康奈爾的老朋友和同事,工程師安迪·魯伊納(Andy Ruina),給他打了個電話,電話里說,一個來自荷蘭的科學(xué)家阿倫·施瓦布(Arend Schwab)去了他的實驗室,有意幫他重啟關(guān)于自行車穩(wěn)定性的研究。
“吉姆,我們需要你?！濒斠良{告訴帕帕佐普洛斯。
兩個輪子就好了
這幾名研究者開始一起攻克這個困擾了科學(xué)家一個世紀(jì)的難題——自行車如何維持平衡,他們的結(jié)果發(fā)表在了《美國科學(xué)院院刊》(Proceedings of Royal Society)和Science雜志上。通過這些基礎(chǔ)研究,他們力求把更高層次的科學(xué)知識注入全球市值達500億美元的自行車工業(yè)。長久以來,這個行業(yè)主要依靠人們的直覺和經(jīng)驗,而不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)。他們的研究成果可以帶動這個行業(yè)所急需的創(chuàng)新想法,或許可以幫助設(shè)計師們發(fā)明更穩(wěn)定、更安全的新一代腳踏與電動自行車。此外,關(guān)于自行車的見解還有潛力在其他行業(yè)發(fā)揮作用,例如假肢和機器人制造。
“所有人都會騎自行車,但沒人知道我們是怎么騎上自行車的?！痹诩又荽髮W(xué)戴維斯分校讀體育機械學(xué)的工程師蒙特·哈伯德(Mont Hubbard)說?！皢渭儚膶W(xué)者的角度來看,關(guān)于自行車的研究本身就很有趣,但同時這些研究也很實用,因為它們能夠幫助人們出行?！?
對于機械工程師來說,關(guān)于自行車的難題有著特別的吸引力。魯伊納說:“我們機械工程師平時打交道的就是牛頓三定律,相當(dāng)于還停留在數(shù)學(xué)、物理和工程緊密結(jié)合、密不可分的19世紀(jì)?！彼f,自行車是該領(lǐng)域中為數(shù)不多的一個“碰巧跟日常生活有聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題”。
第一個老式自行車的專利可以追溯到1818年。經(jīng)歷不斷的嘗試和失敗以后,自行車在20世紀(jì)初的時候進化成了類似現(xiàn)在的樣子。但是,這么多年來,竟沒有多少人想過它們?yōu)槭裁茨苓\轉(zhuǎn),以及是怎么運轉(zhuǎn)的。William Rankine,一個曾分析過蒸汽機的蘇格蘭工程師,在1869年首次提出了“反轉(zhuǎn)向”現(xiàn)象,即要想向左轉(zhuǎn),騎車人必須先微微地把車把向右側(cè)轉(zhuǎn)動,才能讓車身向左傾并成功左轉(zhuǎn)。
傾斜和車把方向的聯(lián)系賦予了自行車最神奇的特征:在行進時可以讓車身平衡。如果猛推一下無人駕駛的自行車,它可能會先踉踉蹌蹌地行駛一陣,但總能恢復(fù)平穩(wěn)向前行駛。1899年,英國數(shù)學(xué)家Francis Whipple推導(dǎo)出最早的,也是最權(quán)威的自行車數(shù)學(xué)模型之一,就是為了探索這種自動穩(wěn)定性。Whipple把自行車模擬為四個固定的物體:兩個輪子、一個上面坐著人的車架,以及車前身加把手,這四個部分由兩條軸和一個中樞連接起來,并受到重力的作用。
把一輛自行車四個部分測得的數(shù)值代入模型,自行車的運動軌跡就像分解動畫一般一幀一幀地放出來。此時工程師就可以用一種叫特征值分析(eigenvalue analysis)的手法來檢驗自行車的穩(wěn)定性,就像檢驗飛機設(shè)計一樣。1910年,基于上述的分析,數(shù)學(xué)家Felix Klein和Fritz Noether跟理論物理學(xué)家阿諾爾德·索末菲(Arnold Sommerfeld,沒錯,就是量子力學(xué)的開山人物之一,海森堡、泡利等量子力學(xué)大佬都是他的學(xué)生)一起研究了陀螺效應(yīng),即旋轉(zhuǎn)的輪胎不會傾斜的現(xiàn)象對自行車的影響。把一輛自行車向左推,快速旋轉(zhuǎn)的前輪就會向左轉(zhuǎn),自行車能保持直立可能出于這個原因。
然而,1970年4月,化學(xué)家、大眾科學(xué)作家戴維·瓊斯(David Jones)否認(rèn)了這個理論。他在一篇發(fā)表在Physics Today的文章中描述了自己的研究:他造出了一系列根據(jù)索末菲等人的理論根本無法駕駛的自行車,在其中一輛自行車上,他安裝了一個反向旋轉(zhuǎn)的前輪,從而有效地抵消陀螺效應(yīng)。根據(jù)索末菲等人的理論,這輛自行車應(yīng)該無法保持平衡才對,然而他不用手也可以幾乎毫不費力地駕駛。
這個發(fā)現(xiàn)促使他探索其他可能的影響因素。他將自行車前輪和商場購物車?yán)锬軌蜣D(zhuǎn)向手推方向的小腳輪做了對比。自行車的前輪相當(dāng)于小腳輪,因為輪子與地面接觸的點總是在把手軸后5至10厘米處。這個距離稱為“曳距”(trail)。瓊斯發(fā)現(xiàn),當(dāng)曳距過大時自行車會穩(wěn)到騎著別扭,而曳距為負值的自行車則十分危險——它會讓你在放開把手的一瞬間跌落。
瓊斯總結(jié)道,當(dāng)單車開始傾倒時,腳輪效應(yīng)會使車的前端在重力下向回轉(zhuǎn),因而保持直立。他認(rèn)為,小腳輪曳距是對自行車自穩(wěn)性的唯一解釋。在他四十年后發(fā)表的的回憶錄里,他把這個發(fā)現(xiàn)當(dāng)做自己一生中最重要的成就之一?！拔椰F(xiàn)在被譽為現(xiàn)代自行車?yán)碚撝??！彼Q。
準(zhǔn)備就緒
那篇文章,給當(dāng)時還生活在俄勒岡州科瓦利斯市的青年帕帕佐普洛斯留下了深刻印象。他有著對數(shù)字的天賦,但他童年時的家庭十分不幸。他的父親邁克爾是一個英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家,原本在俄勒岡州立大學(xué)工作,卻因為反對越南戰(zhàn)爭而沒獲得終身教授職位。接下來的十年中,邁克爾一直在法庭上跟讓他失業(yè)的大學(xué)做斗爭,而他的家人只能從垃圾堆里撿破爛來維持生計。70年代初,吉姆的母親自盡了?！霸谖覄倓傞_始認(rèn)識這個世界,認(rèn)識我自己的時候,”帕帕佐普洛斯說,“我的家庭就破碎了?！?
在這時候,自行車給了他慰藉。他留著齊肩長發(fā),在小鎮(zhèn)里到處踩著他的Peugeot AO8。他不再去上學(xué),成績一落千丈。17歲的時候他輟了學(xué),離開了家。但在他放棄學(xué)業(yè)之前,一位老師給他讀了瓊斯的文章。
帕帕佐普洛斯覺得這篇文章有趣又撲朔迷離。他想:“我必須要學(xué)會這些東西?！彼诩又莶死浇问幜艘粋€夏天,利用空余時間讀著George Arfken的《物理學(xué)家的數(shù)學(xué)方法》教材。接著他在俄勒岡州尤金市的一家膠合板廠工作,從此掙到了足夠的錢,買下了他每周末比賽時騎的傳奇版Schwinn Paramount自行車。1973年,他去了英國利物浦為生產(chǎn)自行車架的Harry Quinn公司工作,但他表現(xiàn)并不好,導(dǎo)致Quinn開除了他。
1975年,帕帕佐普洛斯回到俄勒岡,在俄勒岡州立大學(xué)上了一年學(xué)后轉(zhuǎn)到麻省理工學(xué)院讀機械工程的本科,并取得了優(yōu)秀的成績。?？松凸?span style="color:#888888;">(Exxon)資助他完成了固體力學(xué)的博士學(xué)位。他的本科導(dǎo)師Michael Cleary非?？春门僚磷羝章逅乖趯W(xué)術(shù)界的前途,他告訴?？松緝?nèi)部雜志的作者:“我覺得吉姆會成為一名大學(xué)教授——我當(dāng)然希望他留在麻省理工?！?
然而,帕帕佐普洛斯卻有其他的打算。他一直在研究Whipple的自行車模型和瓊斯的文章,并在某個暑假參加了在美國地質(zhì)調(diào)查局的實習(xí)。在這里,他第一次遇到了后來的合作伙伴安迪·魯伊納(Andy Ruina)。
他們馬上成為了親密的朋友。當(dāng)魯伊納得到了康奈爾大學(xué)的教職后,他就雇傭了帕帕佐普洛斯為博士后?！拔覀儫o時無刻不在討論自行車,但我沒想到他會這么嚴(yán)肅地對待它。”魯伊納說。
帕帕佐普洛斯說服魯伊納,也許自行車公司像石油公司一樣有興趣為學(xué)術(shù)研究提供經(jīng)濟支持。于是他開始向自行車制造商籌款:“捐5000美金,你就可以成為康奈爾自行車研究項目的贊助方!我們有志研究關(guān)于自行車的一切,從輪胎強度到雨中剎車失靈問題等各個方面的問題!”
帕帕佐普洛斯的第一個目標(biāo),就是研究到底是什么因素導(dǎo)致有的自行車比其他自行車更平穩(wěn)。他坐在辦公室里,細細研讀了30篇別人發(fā)表的自行車運動公式,得出的結(jié)論是他對這些研究之拙劣感到很吃驚。公式是把自行車車架的幾何構(gòu)造與操控過程聯(lián)系起來的第一步,但是這些論文中提出的每個新模型都很少引用之前的作品,許多論文錯誤連篇而且難以互相對比,他只能從零開始。
經(jīng)過一年的努力后,他自認(rèn)為掌握了明確的一系列公式?，F(xiàn)在,到了讓這些式子助力他的研究的時候了?！拔視⒅@些等式坐上好幾個小時,嘗試找出它們背后的含義。”他說。
首先他根據(jù)瓊斯提出的關(guān)鍵變量——曳距重寫了自行車公式。根據(jù)瓊斯的結(jié)論,當(dāng)曳距為負值時自行車本該會不平穩(wěn),但他的計算結(jié)果卻顯示并非如此。他在當(dāng)時撰寫的一篇報告中畫出了一輛從把手向前伸出一個重物的怪異自行車:“重心稍微前移可以彌補輕微負值的曳距……似乎自行車的自穩(wěn)性并不是由單一變量決定的?！?
這個發(fā)現(xiàn)意味著,自行車容易駕駛與否,并不能由一個簡單的法則決定。曳距或許有些作用,陀螺效應(yīng)和重心或許也有些作用。對于帕帕佐普洛斯來說,這一發(fā)現(xiàn)有重大啟示。最早的車架建筑師只是碰巧發(fā)現(xiàn)了一個感覺可行的設(shè)計,然后就一直被局限在小范圍的幾種設(shè)計方案中,但其實,或許還有大量沒被嘗試過的幾何形狀可以改革自行車的設(shè)計。
衰落
兩年后,魯伊納已經(jīng)資助不起帕帕佐普洛斯了。除了自行車制造商Murray,他們得到的僅有的兩家贊助來自Dahon和Moulton,兩家小輪自行車的制造商,大概是因為小輪自行車特殊的設(shè)計使它們比較難騎。魯伊納開玩笑說,他們應(yīng)該把項目名稱改為 “折疊自行車研究項目”, 真是黑色幽默。
雖然帕帕佐普洛斯在自行車的數(shù)學(xué)理論方面取得了進展,但他只發(fā)表了一篇作為第一作者的論文?！拔矣X得,發(fā)現(xiàn)新事物和鉆研細節(jié)比把它們寫下來有趣多了?！彼f。既得不到資金,又發(fā)表不出論文,他的自行車研究生涯漸漸結(jié)束了。1989年,他把他的自行車裝進一輛面包車,開去了他當(dāng)時妻子工作的伊利諾伊州,在學(xué)校和工廠忍受著他厭惡的工作。在空余時間他為《硬核自行車愛好者》雜志建立并維護了自行車科學(xué)愛好者的電子郵件名單,也幫忙給電視真人秀Junkyard Wars造了一輛能塞進行李箱的車。
2001年,來自麻省理工的工程師,發(fā)明了最早的現(xiàn)代躺車(recumbent bicycles)之一的David Wilson邀請帕帕佐普洛斯與他合著《自行車科學(xué)》(Bicycling Science)的第三版。然而,當(dāng)時的帕帕佐普洛斯卻正被債務(wù)和責(zé)任壓得喘不過氣。他連第一章都沒能寫完發(fā)給Wilson,后來直接連郵件都不回復(fù)了。Wilson覺得自己被背叛了?！八莻€非常聰明的人,”Wilson說,“但他總是無法完成任何事?！辈贿^,帕帕佐普洛斯說他其實完成了任務(wù)——不過比預(yù)期的耗時長了兩年罷了,當(dāng)時心力交瘁的他正經(jīng)歷一場難熬的離婚。
回歸自行車
在康奈爾,魯伊納繼續(xù)研究自行車。他把之前研究團隊對自行車的見解應(yīng)用在了一個新的領(lǐng)域——機器人上。他認(rèn)為,如果自行車可以不借助控制系統(tǒng)而展現(xiàn)如此優(yōu)雅的穩(wěn)定性,那或許也可以設(shè)計出一種能如此行駛的極簡行走機器。1998年,他跟荷蘭代爾夫特理工大學(xué)的施瓦布的研究生學(xué)生Martijn Wisse合作,制造出了一個可以完全不用馬達走下緩坡的兩腳機器,它能把能量儲存在擺動的手臂里。在此基礎(chǔ)上加上幾個電子馬達,一個可以在平地上行走的節(jié)能機器人就誕生了。
2002年,施瓦布決定跟魯伊納一起過年假,然后他們討論到了以前的自行車研究項目。這時魯伊納給帕帕佐普洛斯打了個電話,并上門造訪了他。“這是我第一次見到那個天才?！笔┩卟颊f。
隨著路上的自行車越來越多,施瓦布覺得不可理喻的是竟然沒有人發(fā)表過正確的自行車公式組,更不用說把這些公式應(yīng)用在解決自行車設(shè)計的難題上。他和一位現(xiàn)在位于荷蘭特溫特大學(xué)的工程師Jaap Meijaard分別獨立推理出了自己的公式,這與帕帕佐普洛斯的公式完全相符。他們在韓國一個工程會議上展示了最終的自行車公式,然后四人聯(lián)合發(fā)表了結(jié)果。
現(xiàn)在的問題就是要證明,這不僅僅是個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。施瓦布和學(xué)生花了一年時間建造出了一個負值曳距極小,卻具有自穩(wěn)性的自行車。這輛車看起來就像是單腳滑板和蹺蹺板的結(jié)合體,一個重物從前輪向前伸出,還有一個反向旋轉(zhuǎn)的車輪來抵消陀螺效應(yīng)。在一個它滑行的視頻中,你能看到它先傾斜并向右轉(zhuǎn),但接著就自己恢復(fù)平穩(wěn)。這個實驗證實了帕帕佐普洛斯的觀點,即自行車穩(wěn)定與否由多種因素共同決定。
然而,在自己的發(fā)現(xiàn)在30年之后終于為更多人所知的時候,帕帕佐普洛斯卻忍不住感到失望?！斑@并沒有如我們想象那般改變一切?！彼f。自行車架的設(shè)計仍然年年如一?！按蠹叶歼€無法打破常規(guī)思考?！彼f。盡管如此,其他的研究者們也跟上了他們組的軌跡,在2010年,終于舉辦了一場關(guān)于自行車與電動車動力學(xué)的會議。會議召集了來自世界各地的工匠,其中一些人也制造了怪異的實驗性自行車,用來驗證設(shè)計原理。
去年這項會議的組織者是來自加州大學(xué)伯克利分校的工程師Jason Moore,他力求尋找自行車車架的幾何形狀與操作簡便程度之間的聯(lián)系。這項工作受啟發(fā)于關(guān)于飛行員的軍事研究。Moore通過在裝滿傳感器的自行車上進行一系列演習(xí),監(jiān)測了車把方向,傾角和速度,創(chuàng)建了一個人類控制自行車的模型。為了只通過車把來平衡和騎行(而不是重心的移動),他不得不穿上剛硬的馬具把自己綁在自行車上。這項研究證實了自行車越平穩(wěn)越好駕駛這一長期以來的假設(shè),或能為車架建筑師們提供優(yōu)化設(shè)計的工具。
這同時也引入了一個難題:實驗實測車把所需的轉(zhuǎn)矩是Whipple自行車模型預(yù)測的二至三倍。這個差異或許源于模型里沒有包含的輪胎摩擦和彎曲,但并不能蓋棺定論。為便于實驗,Moore和他的同事們建造了一個可以平衡自身的機器人自行車?！爸灰袀€機器人自行車,你就可以做很多瘋狂的實驗,不用讓真人騎上去冒險了?！彼f。(他之前的一個控制實驗要讓木棍猛地側(cè)擊自行車,還要保持平衡。)其他許多無人駕駛的自行車機器人需要靠內(nèi)部的陀螺來保持直立,但這個機器人只靠車把。Moore已經(jīng)把它寄給施瓦布做更深入的研究了。
今天,施瓦布擁有了帕帕佐普洛斯夢寐以求的實驗室,帕帕佐普洛斯也為能夠與他合作感到不勝感激?！斑@是我能想象到的最美好的東西?！彼f。施瓦布其他的研究項目包括一個將把向運動跟平衡運動分離的“線把向” 自行車,還有一個可以在低速行走時保持平穩(wěn)的 “輔助把向” 自行車。他還發(fā)明了一種能展現(xiàn)自穩(wěn)性的后輪轉(zhuǎn)向躺車,用放大的前輪來增大陀螺效應(yīng)的放大的前輪。后轉(zhuǎn)向躺車最大的好處是需要的車鏈比傳統(tǒng)躺車更短,因而能更有效地傳遞能量。“有人之前嘗試過,但并不能駕駛。”施瓦布說。
淡出學(xué)術(shù)圈已久的帕帕佐普洛斯如今在位于波士頓的東北大學(xué)任教,開始再次嘗試進入學(xué)術(shù)圈。他開始建立合作關(guān)系,驗證一些蟄伏已久的關(guān)于為什么自行車在高速行駛時會搖晃的猜想。他相信,能夠用一個消音器吸收坐桿處的震動,從而減少晃動。他跟同事和學(xué)生也由此開始探索一系列其他問題,有些甚至跟自行車本身沒有太大關(guān)系了。
在他的地下室,帕帕佐普洛斯打開了一個褐色備案柜的抽屜,翻起了皺巴巴的馬尼拉文件夾。上邊標(biāo)記著“胎壓”,“生物動能”,和“康奈爾”。他拿出一本教科書:“運動生理學(xué)?我從未認(rèn)真讀過?！彼f著,把書丟到一邊。在抽屜深處,他找到厚厚一本文件夾的自行車研究方案,上面標(biāo)記著“未完成”。
Papadopoulos沉思了一秒,把標(biāo)簽改成了“基本未完成” 。
轉(zhuǎn)自:環(huán)球科學(xué)ScientificAmerican
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